HIMPUNAN

A.    Definisi Himpunan

 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang mempunyai syarat tertentu  dan jelas . objek dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, Negara, dan sebaginya, selanjutnya objek ini dinamakan anggota atau elemen dari himpunan. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan untuk membedakan antara anggota himpunan dan bukan anggota himpunan, selanjutnya dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well defined set).

B.     Notasi Himpunan

Notasi dan symbol-simbol baku yang digunakan dalam penulisan himpunan, yaitu:

a)      Himpunan dinyatajan dengan huruf besar, dan menggunakan symbol kurung kurawal ({}). Contoh: A = {1,2,3,…}

b)      Anggota himpunan dinyatakan dengna huruf kecil. Contoh: A = {a,b,c,x,y}

c)      ∈ merupakan notasi anggota himpunan. Contoh: A = {1,2,3}, maka 1 ∈ A (1 anggota himpunan A).                                                                                                                                                                            

d)     ∉ merupakan notasi bukan anggota himpunan. Contoh: A = {1,2,3}, maka 4 ∉ A (4 bukan anggota himpunan A)

e)      ⊆ merupakan notasi himpunan bagian. Contoh: A ⊆ B, artinya himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B

f)       ⊂ merupakan notasi propersubset. Jika A dan B adalah himpunan sedemikian rupa sehingga A ⊆ B tetapi A ≠ B, maka propersubset dari himpunan B, notasinya: A ⊂ B. Contoh: A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,2,3}, maka B ⊂ A.

g)      |…| merupakan symbol banyaknya anggota himpunan, contoh: A = {a,b,c,d,e}, maka |A| = 5

h)      U merupakan himpunan universal (semesta), contoh: U = {1,2,3,4,5}

i)        Simbol-simbol baku dalam himpunan:

1)      P = himpunan bilangan bulat posistif, contoh P = {1,2,3,…}

2)      N = himpunan bilangan natural, contoh N = {1,2,…}

3)      Z = bilangan bulat, contoh Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

4)      Q = himpunan bilangan rasional

5)      R = himpunam bilangan riil

6)      C = himpunan bilangan kompleks

C.    Cara Penulisan Himpunan

Berikut merupakan beberapa cara penyajian himpunan, yaitu:

1)      Enumerasi

Enumerasi yaitu mendaftarkan seluruh anggota himpunan dengan kurung kurawal.

Contoh:

Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1,2,3,4}

2)      Notasi Pembentukan Himpunan

Notasi pembentukan himpunan yaitu penotasian dengan cara menuliskan aturan atau perumusan tentang sifat keanggotaannya.

Notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Contoh:

A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5.

A = { x | x bilangan positif kurang dari 5}

Atau A = {x | x ∈ P, x < 5}

3)      Diagram Venn

Himpunan semesta digambarkan sebagai daerah persegi panjang dan suatu himpunan bagian dari himpunan semesta ditunjukkan dengan daerah kurva tertutup sederhana. Anggota-anggota suatu himpunan ditunjukkan dengan noktah-noktah sedangkan jika anggotanya cukup banyak maka noktah sebagai wakil-wakil anggota himpunan tidak perlu ditulis.

Misalkan :

U = {1,2,…,7,8}

A = {1,2,3,5} dan B = {2,5,6,8}

Diagram venn:

 

D.    Operasi Himpunan

Berikut merupakan operasi-operasi yang terdapat pada himpunan:

1)      Union (gabungan) dua himpunan

Notasi: A ⋃ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

2)      Intersection (Irisan) dua himpunan

Notasi: A ⋂ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

3)      Pengurangan Himpunan

Notasi: A – B  = { x | x ∈ A dan x ∈ B } = A ⋂ B ᶜ

4)      Penjumlahan himpunan (Beda Setangkup)

5)      Perkalian (persilangan) himpunan

6)      Komplemen

Notasi: Ā = { x | x ∈ U, x ∉ A }

7)      Kardinalitas

Kardinalitas yaitu jumlah elemen di dalam suatu himpunan.

E.     Macam-macam himpunan

Berikut merupakan macam-macam himpunan:

1)      Himpunan Kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang di dalamnya tidak memiliki anggota sama sekali.

2)      Himpunan Subset

Himpunan subset atau himpunan bagian yaitu ketika semua anggota himpunan satu merupakan anggota himpunan lainnya.

3)      Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan bagian dari himpunan tersebut, termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri.

4)      Himpunan Sama

Himpunan sama yaitu ketika dua atau lebih himpunan memiliki jumlah anggota dan isi anggota yang sama. Contoh :

5)      Himpunan Ekuivalen

Himpunan ekuivalen yaitu ketika dua atau lebih himpunan memiliki jumlah anggota yang sama.

6)      Himpunan Saling Lepas

Himpunan saling lepas yaitu ketika kedua himpunan tidak memiliki anggota yang sama sehingga menghasilkan himpunan kosong.

Daftar Pustaka:

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/ir-sugiyono-mkes/09-teori-himpunan.pdf

http://staff.unila.ac.id/coesamin/files/2017/01/Himpunan.pdf

http://malifauzi.lecture.ub.ac.id/files/2015/09/Himpunan.pdf